Математические бильярды

Существуют простейшие модели, позволяющие даже неискушённому человеку понять
и ощутить глубокие принципы, лежащие в основе нашей Вселенной. Лично для меня знакомство с игрой «Жизнь» и отображением «Кот Арнольда»  [1]  [2]     стало гораздо более важным, чем изучение теории относительности
и квантовой механики. Эти науки сами по себе не могут объяснить два уникальных явления в нашем мире —
самоорганизацию и детерминированный хаос.
А ведь именно эти процессы привели к появлению жизни и сознания на Земле,
«управляют» как эмоциями отдельного человека, так судьбами целых государств.
Что касается теории хаоса, то буквально недавно я обнаружил прекрасный образец простой,
но многогранной модели, с помощью которой можно «подобраться» к тонким и сложным моментам
теории стохастических систем. Это математические бильярды.В простейшем случае мы имеем замкнутый стол без луз и один шарик, который движется без трения,
а отражается абсолютно упруго. Мощным введением в предмет является книга 1990 г. из библиотечки «Кванта»
Г.А. Гальперина и А.Н. Землякова «Математические бильярды» 
Здесь просто суммирую то, что показалось наиболее важным, из этой книги и других источников, например:
[1] [2]

А. Круглый стол.

Интерактивная демонстрация на сайте GeoGebra (требуется Java-plugin).
(Представлен эллиптический бильярд. Круглый получается совмещением фокусов.)
1. Если угол между диаметром и линией удара соизмерим с числом π (т.е. α = n*π/m),
то траектория будет периодической. Чем меньше знаменатель у подходящей дроби,
тем меньше звеньев содержит период.
2. Если отношение — иррациональное число, то траектория будет незамкнутой.
При этом она как бы»заметает» кольцо внутри нашего стола.В этом кольце она будет всюду плотной
(т.е. в любой окрестности любой точки кольца обязательно окажется участок пути шарика)
Однако, поведение шарика не будет хаотическим. Это понятно интуитивно, когда видишь,
как «правильно»он заштриховывает кольцо.
На самом деле, существует несколько видов хаоса и несколько подходов к его определению.
Круглый бильярд «не проходит», например, по критерию Ляпунова. Если мы запустим одновременно
два шарика под слегка разными углами, то они будут двигаться совершенно синхронно, иногда чуть разбегаясь,
иногда снова сходясь.
Б. Эллиптический стол. Ситуация в целом похожа на предыдущий случай, со следующими поправками.
1. Критерий периодичности не так прост. Нахождение замкнутых многозвенных отражений в эллипсе является самостоятельной трудной задачей.
2. Непериодическая траектория будет заметать либо эллиптическое кольцо, либо область между ветвями
софокусной гиперболы-каустики.
3. Особый случай — если линия удара проходит через один из фокусов. Тогда следующее звено пройдёт
через другой фокус и со временем шарик будет всё сильнее «прижиматься» к главной оси эллипса. Эллипсы
В. Произвольный овальный стол.
1. Если его граница гладкая и выпуклая, то немного подумав, можно обнаружить две периодические
траектории — вдоль наибольшего и наименьшего диаметров, по аналогии с эллипсом.
(Движение вдоль главной оси неустойчиво — малейшее отклонение приведёт к «разрушению» этого цикла).
Биркгоф доказал,что у гладкого выпуклого бильярда существуют периодические траектории любой
наперёд заданной длины.Конечно, всегда найдутся и квазипериодические, плотные в некоторой области траектории.
Но главное, появится совершенно новое поведение — хаотическое. Обязательным условием хаотичности является плотность.
Но этого недостаточно, как очевидно даже интуитивно. Одним из достаточных условий появления хаоса является перемешивание. Представим себе некоторое количество очень маленьких бильярдных шариков, расположенных в начале в небольшой области. Придадим им всем одинаковую скорость в одном направлении. Первое время они будут двигаться совершенно синхронно.
А в случае кругового и эллиптического столов они всегда будут двигаться параллельно, не разлетаясь.
В случае перемешивающей системы это не так. Наиболее известным примером такого стола является
стол-стадион Бунимовича (в центре на самой первой картинке).
Частицы-шарики, начав двигаться параллельно из небольшой области,
постепенно «разбредуться» по всему бильярду, даже если не будут сталкиваться между собой.
Простым примером хаотичного бильярда является конструкция из двух дуг окружностей.
Интерактивная демонстрация
В этом примере имеется встроенный анализ т.н. показателя Ляпунова — характеристики скорости разбегания соседних траекторий. В случае полного хаоса он равен 1, для «правильных» систем он может быть даже отрицательным.
Манипулируя расположением дуг, можно добиться степени хаотичности ~ 0.9
К сожалению, численный анализ более сильного критерия стохастичности — перемешивания, доступен для более мощных программ, например Wolfram Mathematica.
Можно и строго доказать, что столы, содержащие вогнутые участки:

Адамар

генерируют настоящий сильный хаос (являются т.н. системами Бернулли). После нескольких отражений предсказать траекторию шарика также невозможно, как предугадать результат броска игральной кости. И это при том, что закон отражения  от борта очень прост и строго детерминирован!

Г. Многоугольный стол.

Интерактивный пример для шестиугольника (с анализом распределения углов отражения).

Простейшим случаем многоугольника является бесконечный угол. Доказано, что бильярдный шарик,
попадающий в любой угол, рано или поздно вылетит из него.
То же можно сказать и про лазерный луч, попадающий в два поставленные пол углом зеркала.

1. Назовём многоугольник рациональным (р.м.), если его углы соизмеримы с числом Пи.
— В любом р.м. существует периодическая орбита; об остальных такой теоремы пока нет.
— Р.м. четырёх типов : прямоугольник (в т.ч. квадрат) и треугольники с углами
(π/3, π/3, π/3),  (π/2, π/4, π/4),  (π/2, π/6, π/3)
обладают теми же свойствами, что и круглый биллиард.
2. О произвольных многоугольниках известно немного.
Показатель Ляпунова для любого полигона стремиться к нулю. (У круглого биллиарда и р.м. он отрицателен).
Для невыпуклых многоугольников можно наблюдать, что углы отражения принимают все возможные значения от 0 до 2π.
Это важный, но не достаточный признак стохастичности.
Даже с плотностью есть проблемы. Нетрудно доказать, что существуют траектории, всюду плотные в сколь угодно малой части полигона, и не заходящие в оставшуюся.

экзо

Реклама

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s