Игры с Хаосом

They seem to play an evil game
A game that doesn’t have a name
Both of them are in the ashes
At the stake where witches burn…
King Diamond «The Eye»



Для тех, кто интересуется устройством мироздания, с 7 до 70 лет,
реальные эксперименты с «твёрдыми телами» были и остаются главным источником загадок,
открытий и вдохновений.
Да, компьютер — это замечательно. Но в принципе, я согласен с Роджером Пенроузом, посвятившем
более 600 страниц (возможному) доказательству невычислимости разума Homo Sapiens.
Вот иллюстрация идеи Пенроуза на частном примере. Модель, представленную далее, легко просчитать на компьютере, и при этом увидеть массу нового и интересного.
Но ни одна система искусственного интеллекта не сможет придумать простой и удивительный опыт —
магнитный маятник.

Здесь, разумеется, нет никаких фокусов. Маленькие шарики-магниты и система подвеса со слабым трением. Вот более аскетичная демонстрация, в стиле ‘industrial’:

Непредсказуемость, плавное «безумие» маятника завораживает.
Но, как ни странно, наличие хаоса — это не повод отрицать вычислимость и детерминированность!
Проведём краткий анализ этой динамической системы.
Не слишком строго, но с большой наглядностью, можно представить подвешенный магнит шариком, «катающимся» в потенциальном рельефе. Этот рельеф складывается из гравитационной и магнитной составляющих, и выглядит примерно так:

Relief3

(Разумеется, здесь и далее речь идёт о почти точечных магнитах.
Происходящее с кольцами смоделировать довольно сложно).
Если считать, что шарик «трётся» о рельеф, постепенно теряя запас начальной энергии, то модель получится вполне реалистичная.
Чтобы глубоко разобраться в поведении системы, начнём с упрощающих примеров.
(Предполагается, что теория обычного маятника  известна).

1. Сферический маятник — это точечная масса, закреплённая на конце невесомого жесткого стержня, который свободно вращается в 3D-подвесе.
С точки зрения потенциала — это шарик, бегающий изнутри сферы, без трения, но в поле тяготения.
Эта система является полностью интегрируемой.


Более того, в 1-м томе известного курса Ландау-Лифшица (стр. 153 — 158) точно решена задача о несимметричном тяжелом волчке в 3D-подвесе. Точечный сферический маятник — простой частный случай.
Если у шарика нет начальной скорости (или она направлена по большому кругу сферы), то его движение эквивалентно обычному маятнику. (В поведении последнего также есть немало интересного).
Если начальный импульс направлен произвольно, то движение будет эргодическим в определённой области , т.е. траектория будет «рисовать» плавные незамкнутые кривые, постепенно заполняя сегмент (или даже всю сферу):
Сферический маятник
Наличие трения, конечно, приведёт просто к тому, что со временем шарик «упокоится» на дне сферы.
Хаоса в этой модели не возникнет.

2. Теперь нам предстоит сделать «ход конём». Если углы отклонения обычного или сферического маятника велики (тем более, маятник делает «солнышко»), уравнения движения существенно нелинейны.
Это, кстати, одна из причин возникновения хаоса. Но мы хотим добавить ещё и магниты!
Чтобы не перегружать модель, будем считать отклонение маятника малым, а гравитационную составляющую — линейной. Малыми, разумеется, считаются углы; т.е. если магниты расставлены в диапазоне метра, точка подвеса должна быть метрах в 10 над землей и т.п.
Второй момент — это начальный импульс. Хорошо известно — если как следует «вдарить» по чему-то, поведение этого «чего-то» может стать весьма стохастическим…
И на видео, и в численных моделях далее, пробный магнит отпускается без начальной скорости.

3. Пора записать уравнения и открыть Wolfram Mathematica. Прежде, чем погрузиться в пучины фрактального хаоса, «отключим» ненадолго трение.
Что это значит? Примерно то, что происходит на видео в самом начале. Шарик «катается»
по рельефу гравитации и магнетизма без трения. Такая система является описывается несложными уравнениями
\displaystyle U(q)= \frac{\omega}{2} \ q^2-\sum_{k=1}^N \frac{1}{| q-q_k | }

\displaystyle \dot{q}=p, \ \dot{p}=-\nabla_q U(q)
и является гамильтоновой. Поведение её весьма похоже на хаотические биллиарды.
Существуют начальные условия, когда траектория становится периодической, иногда совсем простой.

Traj7
(Несимметричный волчок, кстати, никогда не сможет двигаться чисто периодически).
Есть и эргодическое поведение, с «заметанием» участков:

Traj1

Но часто (при тех же положениях и силах магнитов), возможен и настоящий «взрыв на макаронной фабрике»:

Traj3

Известно, что несложные гамильтоновы системы могут порождать хаос.
Провести теоретический анализ данной системы я не в состоянии. Продолжая численные эксперименты, провёл оценку скорости разбегания траекторий. Будем отпускать из (почти) одной точки два шарика, разделённые маленьким начальным расстоянием d(0)=\epsilon Что будет происходить с ними дальше?
При регулярном, квазипериодическом движении они будут разбегаться постепенно (линейно по времени).
А в случае периодического движения — вообще двигаться синхронно.
При хаосе они очень быстро разойдутся, «забыв», что когда-то начали движение почти из одной точки.
Количественно скорость расхождения траекторий оценивается показателем Ляпунова:

\displaystyle \Lambda = \lim_{t \to \infty} \lim_{\epsilon \to 0} \Big[ \frac{1}{t} \ln \frac{d(t)}{\epsilon} \Big]
Вот его графики для почти периодического движения (чёрная линия, возле нуля), эргодического (синияя) и стохастического (красная):

Показатели Ляпунова

Большой положительный показатель в последнем случае указывает на хаотическую, непредсказуемую динамику.
Можно выпустить целое облако шариков из небольшой начальной области и посмотреть, как постепенно они расходятся по большой области (ограниченной только законами сохранения) (GIF — анимация):

4. Наконец, приступим к настоящей evil game. Включим трение (добавив в уравнение для импульса -\gamma p ). Пробный магнит теперь рано или поздно остановится у одного из силовых магнитов
(строго говоря, это следует из т.н. теоремы о сжимающих отображениях).
Именно так происходит и в реальном эксперименте. Вот иллюстрация с облаком шариков, отпущенных из малой начальной области:

ex1Prev

Есть ещё одно положение равновесия — там, где действие магнитов взаимно компенсируется,
«на вершине холма». Но оно абсолютно неустойчиво, и в моделировании исключается.
Траектории остаются весьма запутанными, всё же притягиваясь рано или поздно к точкам устойчивого равновесия.

Traj5

Вопрос на миллион долларов:

Мы знаем (с точностью до любого знака) начальное положение пробного шарика-магнита. Силовые магниты — точечные, с известным потенциалом. Можно ли сказать, возле какого из них в конце концов остановится шарик?

Оказывается, даже для компьютерной модели можно ответить лишь в духе Бивеса и Баттхеда нечёткой логики:

 «да типа нет».

Одна из самых интересных задач, которую я исследовал за последние несколько лет на Wolfram Mathematica — это построение т.н. «бассейнов притяжения».
Раскрасим притягивающие магниты в разные цвета. Будем по порядку перебирать множество стартовых точек и назначать им цвета в соответствие с тем, где остановится пробный шарик.
Тот, кто поставит подобный опыт хотя бы 2-3 раза, сразу согласится, что бассейны притяжения —
это не просто куски пространства, ближайшие к «своим» магнитам.
Но понять точное устройство этих областей не под силу даже супер-компьютеру!
Вот полученная другими исследователями карта для 3-х магнитов:

Basin3

Мои карты для 2 и 4-х:

Basin2FullMax

  PMfull

Подчеркну — эти изображения получены за конечное время вычислений.
Если продолжать расчёты, общие очертания бассейнов притяжения не изменятся. А вот на границах будут появляться всё новые подробности.

PMSteps
Доказано, что на линиях раздела обязательно соседствуют точки всех цветов.
Понять это с первого раза практически невозможно. Только запустив несколько раз с разными параметрами расчёт бассейнов, можно ощутить истинную природу этих удивительных фракталов.

Исследование таких моделей приближает нас также и к пониманию природы человеческого сознания.
Да, возможно, оно не вычислимо (даже для целых чисел можно сформулировать невычислимые задачи).
Возможно также, что мы никогда не сможем создать полноценный искусственный интеллект.

Но это совсем не значит, что наш разум, как и другие сложные и прекрасные объекты Вселенной,
возник потусторонним путём, в результате божественного вмешательства.
Всё, происходящее с маятником, включая бесконечную сложность и красоту фрактальных бассейнов, описывается всего одним законом природыпринципом наименьшего действия, из которого выводятся уравнения движения.
И ничего удивительного нет в том, что сочетание нескольких фундаментальных законов, а также случайных мутаций и отбора, привело к возникновению нашего сознания и разума.

Реклама

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s