Консонанс и диссонанс

Тема консонанса звуков волнует  умы со времён Пифагора.
Рамо, Риман, Гельмгольц, Хиндемит…
Дискуссия на forumklassika продолжалась  более трёх лет (с некоторым моим участием).Этот пост пишу, собственно, для себя. От других читающих ожидаются достаточные познания в теории музыки, психоакустике, физике и математике. На уровне:

  • И. Алдошина, Р. Приттс  Музыкальная акустика, 2009
  • Кузнецов Л.А.  Акустика музыкальных инструментов,1989
  • Тюлин Ю. Н. Учение о гармонии. М., 1966
  • A. K. Honingh    The Origin and Well-Formedness of Tonal Pitch Structures
  • А. А. Харкевич Спектры и анализ, 1959
  • Hall D. Musical Acoustics, 1980

(Также благодарен  Михаилу Храмову и хабровчанам ).
Несколько важных пунктов:
1. Будучи объективным материалистом, не рассматриваю «божественное происхождение музыки»
и не считаю консонанс «непознаваемым чудом».
2. Процессы в нервной системе, связанные с восприятием звука, до конца не изучены. Тем не менее, можно утверждать, что консонанс/диссонанс связаны со спектром звука; всё остальное имеет второстепенное значение.
3. Звук можно хотя бы в какой-то степени назвать музыкальным, если его спектр имеет ярко выраженные пики. Они должны быть не слишком широкими и образовывать регулярную структуру (обертоны).
Типичный пример — спектр колокольного звона. Его обертоны не являются гармониками (т.е. не находятся на равных расстояниях), но образуют сложную закономерную структуру (определяемую корнями функции Бесселя).
Поэтому колокол не является “классическим” инструментом, но любой человек назовёт его звук музыкальным.
Другой пример — пан-флейта. У неё отсутствуют чётные гармоники. Поэтому это полноценный самостоятельный инструмент, но почти не употребляется в оркестрах.

Здесь мы будем рассматривать только полные гармонические спектры, стационарные во времени.
Берусь утверждать, что этого достаточно для понимания природы консонанса.

Итак, вот спектр ноты, с которым мы будем работать.

Гармоники ноты

Несколько нот, взятые одновременно, образуют сложный муаровый узор спектральных линий.

Гармоники интервал

(Звуки, взятые мелодически, т.е. последовательно, также консо- или диссонируют. Время существования звукового образа  . Всё что, далее сказано о интервалах и аккордах, переносится и на мелодию; просто консонансные «окна» могут быть шире).

Основная мысль этой статьи состоит в том, что для понимания природы восприятия созвучий достаточно учитывать два процесса, или эффекта.
Некоторые авторы рассматривают их порознь; другие считают, что таких процессов двадцать два и более.
Но для себя я определился.

I. Взаимодействие гармоник.

Для любого, кто хочет понять природу созвучий, обязателен следующий эксперимент.
Используя подходящий софт (рекомендую Synthmaker, ныне Flowstone),
эмулировать два источника чистой синусоиды. Частота может быть любая, лишь бы не раздражало слух (200 — 800 Гц). Вначале пусть они звучат строго в тон; а потом будем постепенно менять частоту одного из них.
При разности 0 — 15 Гц возникнут биения, которые большинство людей оценивает как приятные; далее воспрятие становится нейтральным. При сдвиге около 30 Гц большинство респондентов говорят о «шероховатости»,
При дальнейшем разведении частот становится слышно два разных тона, восприятие которых также оценивается как «хорошее», нормальное.

Несмотря на всю простоту, этот эксперимент имеет фундаментальное значение, и демонстрирует нейро-акустические эффекты, которые стали понятны буквально недавно.
Здесь нет возможности описывать детали. Рекомендую  книгу Алдошиной, а для углублённого изучения:

  • Н. В. Позин и др.  «Элементы теории биологических анализаторов», 1978

Всё-таки отмечу два принципиальных момента.
1). Дифференциальный слуховой порог по частоте составляет 1 — 3 Гц  (в диапазоне до 1500 Гц).
Но этот порог измеряется для последовательно поданных звуков. Чистые тоны, звучащие одновременно, начинают разделятся, когда разность частот достаточно велика. Эта разность называется шириной критической полосы, а сама область, где тоны взаимодействуют –  критической полосой. ШКП примерно можно найти по формуле:

wcb(f) = 30*(1+(4.37*f/1000));

2). Вышеописанное «взаимодействие» гармоник внутри критической полосы хорошо отражается т.н. кривой консонанса. Вот её стандартная форма:

Консонанс3

Лично для меня довольно странно, что далеко отстоящие частоты также считаются консонирующими. Предлагаю альтернативный вид этой кривой, вне КП стремящейся к нулю (нейтральная реакция):

Консонанс4

А дальше как раз всё просто. Если несколько линий звучат одновременно, эффекты от них дополняют друг друга.
Оцениваем степень консонанса для каждой пары гармоник из аккорда, суммируем, делим на количество. Получаем оценку для данного интервала или аккорда. Нет проблем провести подобный анализ как с классической, так и с «моей» кривой.  Для полноты картины добавим вариант, учитывающий амплитуды гармоник. Те, что звучат тише, вносят меньший вклад в общую оценку консонансности.

Вначале построим график консонансности для интервала. Нижней нотой будет 440 Гц, верхняя «пробегает» октаву с небольшим шагом.
Для классической кривой взаимодействия:

Консонанс6

Для моей:

Консонанс5

Учёт амплитуд на самом деле приводит просто к уплощению графиков.
На графике хорошо видны максимумы консонантности.
Главные:  1.33, 1.5 и 1.66 (кварта, квинта и секста)
второго порядка: 1.06, 1.125, 1.2, 1.25 и т.д.
Уверен, именно такая структура  лежит в основе ладообразования, хотя это отдельная большая тема.

Для аккорда из трёх нот возьмём диапазон в две октавы и все возможные соотношения между частотами. Получим вот такой узор:

Консонанс7

Нечто подобное “видят” и профессиональные музыканты, когда пытаются изобразить
своё восприятие ладотональных отношений:

Intervaly_kunin

2. Когнитивный эффект.

Важнейшим свойством нашего мышления и сознания является способность находить общее в различном.
Собственно, целостное восприятие мира и есть признак сознания. Но наш мозг старается вносить эту целостность и в отдельные аспекты: визуальное и слуховое восприятие, модели реальности  и поведения других людей и т.д.
Это свойство, безусловно, возникло в ходе эволюции.
Целостный, компактный алгоритм, позволяющий предсказать, объяснить «кучу» различных явлений (или эффективно связывающий прошлое, настоящее и будущее)  —
настоящий козырь в борьбе за выживание для голой обезьяны, заменяющий ей клыки и крылья.
Более того, в процессе эволюции возник и биохимический механизм подкрепления; человек чувствует удовольствие, эйфорию, когда в сети нейронов возникает «подпрограмма», эффективно моделирующая разрозненные, запутанные сведения.

Как бы это не шокировало гуманитариев (и тем более креационистов) вся наука и культура человечества есть следствие двух причин: инстинкта поиска/игры (побуждающего исследовать новое, неизвестное, как снаружи, так и внутри) и способности/желания строить упрощающие, алгоритмические модели реальности.

В слуховом восприятии когнитивный эффект выражается в следующем.
Система гармоник, принадлежащая одному тональному звуку, возникает естественным образом и пронизывает все звуковые явления природы. Известно, что даже чистая синусоида, распространяясь в воздухе и резонируя в слуховом тракте, порождает слабые гармоники.
Неудивительно, что в слуховой коре они является чем-то вроде шаблона, эталона для сравнения.
Любой набор обертонов наша система восприятия пытается “привести” к набору гармоник некоей “виртуальной тоники”.
Сейчас не существует адекватной математической модели интегрального восприятия. В общем-то, любой человек, разбирающийся в теме, может предложить свой вариант. Всё равно это будет лишь модель того, что происходит в ЦНС. Но даже «игрушечные» модели приближают нас к пониманию.
Наиболее интересной считаю гипотезу о некоем подобии wavelet-анализа, происходящем при восприятии «образа звука». Не сильно разбираясь в вейвлетах, оставляю эту гипотезу на потом (или для других ).
Из множества других вариантов выбрал два; в их основе лежит общая идея о наибольшей значимости расстояний между линиями, как соседними, так и далёкими.

а). Примитивно.
В спектре ноты все расстояния между гармониками равны. Т.е. длина массива возможных расстояний равна 1.
Если чередуется 2 различных расстояния, то эта длина равна 2 и т.д. Это число можно использовать для грубой оценки «сложности» созвучия.
Вот результат для внутриоктавных интервалов:

Консонанс8

б). Статистически.
 Можно взять весь массив возможных расстояний и вычислить его статистические параметры:
разброс, коэффициент асимметрии и т.п. Наблюдения показывают, что самую правдоподобную картину даёт стандартное отклонение :

Консонанс9

Хорошо видно, что когнитивная структура интервала богаче, чем психоакустическая.
Можно назвать её даже фрактало-подобной.
Основные максимумы, конечно, совпадают.
Множество побочных, очевидно, дают пищу для сложных видов гармонии типа джазовой.

В заключение  –  впечатляющая картина когнитивных аккордовых консонансов:

Консонанс10

Реклама

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход / Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход / Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход / Изменить )

Google+ photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google+. Выход / Изменить )

Connecting to %s